{"id":9666,"date":"2017-01-27T09:22:56","date_gmt":"2017-01-27T09:22:56","guid":{"rendered":"https:\/\/www.kaspersky.de\/blog\/?p=9666"},"modified":"2017-09-27T14:38:56","modified_gmt":"2017-09-27T12:38:56","slug":"2017-leonardo-fibonacci-and-fermat-numbers-its-not-so-complicated","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.kaspersky.de\/blog\/2017-leonardo-fibonacci-and-fermat-numbers-its-not-so-complicated\/9666\/","title":{"rendered":"2017: Leonardo, Fibonacci und Fermat-Zahlen: Es ist nicht so kompliziert."},"content":{"rendered":"

In meinem letzten Beitrag hatten wir einen\u00a0Mathematik-Wettbewerb<\/a>. Lassen Sie mich Ihnen die Aufgabe ins Ged\u00e4chtnis rufen:<\/p>\n

Mit +, -, x, \u00f7 und () die Zahlen von 10 bis 1 2017 gleichsetzen.<\/p>\n

Das war eine einfache Aufgabe, die schwieriger wurde.<\/p>\n

Wie sieht es mit 9 bis 1 aus, die gleich 2017 sind? 8 bis 1? 7 bis 1? Und herunter bis 1?<\/p>\n

Bevor ich auch nur \u201eWarum grauer Januar, wenn es eine Arithmetik in meinem Leben gibt!?!\u201c sagen konnte, str\u00f6mten auch schon Antworten unseres\u00a0Fanclubs<\/a>\u00a0herein! Und einige von ihnen (denken Sie daran, dass es verschiedene M\u00f6glichkeiten gibt, um auf 2017 zu kommen), waren so wundervoll interessant, w\u00e4hrend andere nicht wirklich als elegant genug bezeichnet werden konnten, wodurch ich einfach einige von ihnen mit Ihnen teilen muss\u2026<\/p>\n

\u2014 10 \u2014<\/strong><\/p>\n

Hier kommen die elegantesten L\u00f6sungen:<\/p>\n

10 * 9 * 8 * 7 * 6 \/ 5 \/ (4 \u2013 3 + 2) + 1 = 2017
\n10 * 9 * 8 * (7 \u2013 6) \/ 5 * (4 + 3) * 2 + 1 = 2017
\n(10 \u2013 9) + 8 * 7 * (6 \u2013 5) * 4 * 3 * (2+1) = 2017
\n(10 \u2013 9) + 8 * 7 * 6 * (5 \u2013 4) * 3 * 2 * 1 = 2017
\n(-10 + 9 + 8 + 7 * (6 + 5)) * 4 * 3 * 2 + 1 = 2017<\/p>\n

Wenn man alle zehn Zahlen verwendete, konnte man es auch so machen, aber uneleganter geht es nicht (em, ich kam auf diese hier; daf\u00fcr brauchte ich nur zehn Minuten \ud83d\ude42 :<\/p>\n

((10 + (987) + (6 + 5) * (4 \u2013 3)) * 2) + 1 = 2017<\/p>\n

A.B., ein Kollege, der in der N\u00e4he meines B\u00fcros sitzt, schaffte es sogar mit einigen \u201eGeteilt-durch\u201c-Zeichen ( \/). Ok, nun, damit teilt man ganze Zahlen in Br\u00fcche, aber gut, warum nicht?<\/p>\n

10 * 9 * 8 * 7 \/ ((6 * 5) \/ 4) \u2013 3 \u2013 2) + 1 = 2017<\/p>\n

Und etwas elegantere Mathematik:<\/p>\n

10 \u2013 (9 + 8 * (7 * (6 * (5 * (4 \u2013 (3 + 2)) \u2013 1)))) = 2017
\n(10 \u2013 9) + 8 * (7 * (6 * ((5 * (4 \u2013 3)) + 2 \u2013 1))) = 2017<\/p>\n

\u2014 9 \u2014<\/strong><\/p>\n

Nehmen wir nun die \u201e10\u201c aus dem Spiel. Zun\u00e4chst erh\u00e4lt man den Eindruck, dass die Aufgabe dadurch komplizierter w\u00fcrde. Jedoch stellte sich heraus, dass die L\u00f6sung innerhalb von wenigen Minuten erreicht werden kann:<\/p>\n

9 * 8 * 7 * 6 * (5 \u2013 4) \/ 3 * 2 + 1 = 2017
\n9 + 8 * ((7 * 6 * (5 \u2013 4) * 3 * 2) \u2013 1) = 2017
\n9 * 8 * 7 * (6 \u2013 5 + 4 \u2013 3) * 2 + 1 = 2017<\/p>\n

W\u00e4hrend A.B. auf eine \u201eBruchvariante\u201c kam:<\/p>\n

9 * 8 * 7 * 6 \/ (((5 + 4) \/ 3) \/ 2) + 1 = 2017<\/p>\n

Es gibt da auch noch diese Version:<\/p>\n

9 * (8 \u2013 ((7 \u2013 6) * (5 \u2013 4))) * (32) + 1 = 2017<\/p>\n

\u2014 8 \u2014<\/strong><\/p>\n

Mit nur 1-8 war die Sache \u00fcberraschenderweise leichter als bei den ersten zwei Aufgaben:<\/p>\n

8 * 7 * 6 * (5 \u2013 4) * 3 * 2 +1 = 2017
\n8 * 7 * (6 + 5 + 4 + 3) * 2 + 1 = 2017
\n8 * 7 * 6 * ( 5 + 4 \u2013 3) + (2 \u2013 1) = 2017
\n8 * (7 + 6 + 5) * ((4 * 3) + 2) + 1 = 2017<\/p>\n

Wackelige Arithmetik:<\/p>\n

(8 \u2013 7 + 6) * (5 + 4) * (32) + 1 = 2017<\/p>\n

\u2014 7 & 6 \u2014<\/strong><\/p>\n

Wenn man nur 1-6 oder 1-7 verwendet, ben\u00f6tigt man eine Fakult\u00e4t; ich konnte ohne sie nicht auf 2017 kommen:
\n7 * (6 \u2013 5) * 4! * 3! * 2 + 1 = 2017
\n6! \/ 5 * (4 + 3) * 2 + 1 = 2017<\/p>\n

7 \u2013 6 \u2013 5! \u2013 4! + 3 * ((2+1)!)!
\n7 + (6! \u2013 5 * (4 + 3!)) * (2+1)
\n7 \u2013 (6 \u2013 5!) * 4! \u2013 (3!)! \u2013 (2+1)!
\n7! \u2013 6! \/ 5 \u2013 4 * (3!)! + 2-1
\n7! \u2013 (6 + 5!) * 4! + (3-2-1)!<\/p>\n

6! \u2013 5! \u2013 4! + (3!)! * 2 + 1
\n(6 + 5!) * 4! \/ 3 * 2 + 1
\n(6! \/ 5 + 4!) * 3! * 2 + 1<\/p>\n

Noch eine andere Variante, Leute?<\/p>\n

\u2014 5 \u2014<\/strong><\/p>\n

Nur eine wackelige L\u00f6sung:<\/p>\n

\/5 * (4 + 3)! * 2 + 1<\/p>\n

Diese ist eleganter, aber sie braucht Quadratwurzeln:<\/p>\n

((( 5 \u2013 \u221a4 )! )!!!! ) !!!!! * ((3 * 2)!!!! ) + 1 = 2017.<\/p>\n

\u2014 4 \u2014<\/strong><\/p>\n

(Wie tief kommen Sie?!)<\/p>\n

[(4#)!!!!]!!!!! * [(3 * 2)!!!!] + 1 = 2017<\/p>\n

Wo # ein\u00a0Primorial<\/a> ist und !!!! und !!!!!\u00a0Primorialprimzahlen<\/a><\/p>\n

Toll! Gut gemacht! Ich hatte zuvor niemals von solchen Zahlen geh\u00f6rt! Uns wurde nichts dazu beigemacht; im Ernst!<\/p>\n

Und ein paar Extral\u00f6sungen:<\/p>\n

((4!)!!!!!!!!!!!!!!!!!)*(3!)*2+1 = 2017<\/p>\n

Es geht so:<\/p>\n

4!=1*2*3*4=24
\n24!!!!!!!!!!!!!!!!!=24*(24-17)=24*7=168
\n3!=6
\n168*6*2+1=2016+1=2017<\/p>\n

Extrem elegante L\u00f6sung!<\/p>\n

Und noch eine, bei der sf(n) eine\u00a0Superfakult\u00e4t<\/a> ist:<\/p>\n

sf(4) * (3! + !2) + 1 = 2017<\/p>\n

wo:<\/p>\n

sf(4)=1!*2!*3!*4!=288
\n3!=3*2*1=6
\n!2=1<\/p>\n

\u2014 3 \u2014<\/strong><\/p>\n

Aber das ist nicht alles! Jetzt werden wir nur mit \u201e3, 2 & 1\u201c rechnen, und nicht mehr. Ist das mein Ernst? Ja!<\/p>\n

F\u00fcr diese Aufgabe ben\u00f6tigen wir:<\/p>\n

L(n) \u2013 eine\u00a0Leonardo-Nummer<\/a>,
\n!n \u2013 eine\u00a0Subfakult\u00e4t<\/a> und
\nn!! \u2013 eine Primorialprimzahl!<\/p>\n

Und los geht\u2019s:<\/p>\n

1 + 2 = 3.
\nL(3) = 5.
\n5!! = 15.
\nL(15) = 1973.
\n!5 = 44.<\/p>\n

L( (L(3)) !! ) + !( L(2 + 1) ) = 1973 + 44 = 2017<\/p>\n

Das ging schnell und einfach. Oh, diese Typen! \ud83d\ude42<\/p>\n

\u2014 2 \u2014<\/strong><\/p>\n

Zwei und eins; wie bekommt man die auf 2017? Nicht m\u00f6glich? Schauen Sie einmal hin: \u201e2 1 = 2017\u201c. Was f\u00fcr eine schwarze Magie brauchen wir f\u00fcr diese Suppe?<\/p>\n

F\u00fcr diese Aufgabe ben\u00f6tigen wir:<\/p>\n

Eine\u00a0Fibonacci-Zahl<\/a>\u00a0F(n) und eine\u00a0Fermat-Zahl<\/a>\u00a0Fm(n)<\/p>\n

Womit wir zur vorherigen Aufgabe kommen (3, 2, 1 -> 2017):<\/p>\n

F(2) = 1 (andernfalls k\u00f6nnen wir eine Subfakult\u00e4t verwenden !2=1).
\nFm(1) = 3.<\/p>\n

2 1 => Fm(F(2)) Fm(1) => 3 3
\nL( (L(3)) !! ) + !( L(3) ) = \u2026.. erraten Sie es? \ud83d\ude42<\/p>\n

oder<\/p>\n

L( (L( Fm(F(2)) )) !! ) + !( L( Fm(1) )) = 2017.<\/p>\n

Und hier ist Ende, Leute. Es ist offensichtlich, dass man NICHT eine einzige \u201e1\u201c auf \u201e2017\u201c bringen kann, denn Mathematik ist kein Science-Fiction-Film und es gibt keinen Teleportationstunnel, mit dem man von \u201e1\u201c auf \u201e2017\u201c springen kann.<\/p>\n

Oh, ok. Es gab KEINEN Tunnel, bevor ich diese Idee mit meinen Kollegen teilte. Einer von ihnen\u00a0antwortete<\/a>\u00a0auf meine Geschichte mit einer trogonometrischen Raupe, die weiter unten erkl\u00e4rt wird.<\/p>\n

Fertig? Sie glauben mir noch nicht? Sparen Sie sich das Grinsen \u2013 es IST m\u00f6glich! Ein \u201eWow\u201c f\u00fcr Maxim Yurchuk, der auf diese verr\u00fcckte Idee gekommen ist.<\/p>\n

\u2014 1 \u2014<\/strong><\/p>\n

ctg arctg sin arcctg ctg arctg sin arcctg \u2026 ctg arctg sin arcctg 1<\/em>\u00a0(die Funktion\u00a0ctg arctg sin arcctg<\/em>\u00a02017^2 -1 wiederholen)\u00a0= 2017<\/em>.<\/p>\n

Und hier ist der Beweis:<\/p>\n

sin t = 1\/sqrt(1+ ctg^2(t))<\/em>,
\n\u00fcbersetzt man die zwei Funktionen rechts, erh\u00e4lt man:
\nsin arcctg s = 1\/sqrt(1 + s^2)<\/em><\/p>\n

Mit\u00a0ctg arctg (s) = 1\/s<\/em>\u00a0erhalten wir:
\nctg arctg sin arcctg s = sqrt(1 + s^2)<\/em><\/p>\n

Mit der gleichen Logik k\u00f6nnen wir sicher sein, dass uns diese vier Funktionen zu
\nctg arctg sin arcctg ctg arctg sin arcctg s = sqrt(2 + s^2) <\/em>f\u00fchren<\/p>\n

Mit mathematischer Induktion k\u00f6nnen wir folgendes beweisen:
\nctg arctg sin arcctg .. ctg arctg sin arcctg s = sqrt(n + s^2)<\/em>
\nwo\u00a0ctg arctg sin arcctg<\/em>\u00a0n-mal wiederholt wird.<\/p>\n

Dann tauschen wir\u00a0s<\/em>\u00a0gegen 1 und erhalten:
\nctg arctg sin arcctg .. ctg arctg sin arcctg s = sqrt(n + 1^2)<\/em>
\nwo\u00a0ctg arctg sin arcctg<\/em>\u00a0n<\/em>-mal wiederholt wird.<\/p>\n

Wiederholen Sie diese Funktionen 2017^2-1-mal (d.\u00a0h.,\u00a0n = 2017^2-1<\/em>) und das f\u00fchrt uns zu
\nsqrt(2017^2-1 + 1^2) = sqrt(2017^2) = 2017<\/em>.<\/p>\n

Bingo!<\/p>\n

Weitere Beweise (\u201ebildlicher\u201c):<\/p>\n

Lassen Sie uns zeigen, dass\u00a0ctg arctg sin arcctg Vn = V(n+1)<\/em>.<\/p>\n

Das untere Bild zeigt das Problem; die Kotangens des Winkels\u00a0AOB<\/em>\u00a0ist gleich Vn, i.e.,\u00a0OB \/ AB = V(1-x^2) \/ x = Vn<\/em>. Ergo, wir m\u00fcssen die Kotangens des Winkels\u00a0COD<\/em>\u00a0berechnen, wenn\u00a0AB = CD = x<\/em>. Diese Kotangens ist gleich\u00a0OD\/CD = 1\/x<\/em>. Somit ist\u00a01\/x = V(n+1)<\/em>, da\u00a0(1 \u2013 x^2) \/ x^2 = n<\/em>.<\/p>\n

<\/p>\n

\u2014 0 \u2014<\/strong><\/p>\n

Das Sahneh\u00e4ubchen, null zu 2017. Das ist einfach:<\/p>\n

cos(0)=1<\/p>\n

Dann gehen wir zur\u00fcck zur vorherigen Aufgabe.<\/p>\n

\u2014 Zusatzmaterial \u2014<\/strong><\/p>\n

Machen wir hier weiter.<\/p>\n

Wie steht es damit, \u2026 2017 aus\u00a0i<\/em><\/a>\u00a0zu erhalten (vergessen Sie nicht, auf den Link zu klicken, denn das ist ein sehr interessantes\u00a0i<\/em>)? Wie erhalten wir aus 2017 die\u00a0Planck-Konstante<\/a>? Oder die Masse eines Elektrons in atomaren Einheiten? Oder die % von VAT-Konzessionen auf Exportvorg\u00e4ngen \u2013 kurz gefasst: der Ozean der modernen physischen-sozial-wirtschaftlichen Sph\u00e4re ist absolut grenzenlos. Nun los, versuchen Sie es selbst!<\/p>\n

Bis zum Ende des Jahres bleibt uns noch immer Zeit; denn dann m\u00fcssen wir die Arithmetik auf 2018 ab\u00e4ndern :).<\/p>\n

\u00a0<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Unser mathematische Wettbewerb geht weiter. Wer hat die L\u00f6sung?<\/p>\n","protected":false},"author":13,"featured_media":9669,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_acf_changed":false,"footnotes":""},"categories":[2712],"tags":[2405,2404,2406],"class_list":{"0":"post-9666","1":"post","2":"type-post","3":"status-publish","4":"format-standard","5":"has-post-thumbnail","7":"category-special-projects","8":"tag-fermat-zahlen","9":"tag-fibonacci","10":"tag-mathematik-wettbewerb"},"hreflang":[{"hreflang":"de","url":"https:\/\/www.kaspersky.de\/blog\/2017-leonardo-fibonacci-and-fermat-numbers-its-not-so-complicated\/9666\/"},{"hreflang":"es-mx","url":"https:\/\/latam.kaspersky.com\/blog\/2017-leonardo-fibonacci-and-fermat-numbers-its-not-so-complicated\/8861\/"},{"hreflang":"es","url":"https:\/\/www.kaspersky.es\/blog\/2017-leonardo-fibonacci-and-fermat-numbers-its-not-so-complicated\/9966\/"},{"hreflang":"it","url":"https:\/\/www.kaspersky.it\/blog\/2017-leonardo-fibonacci-and-fermat-numbers-its-not-so-complicated\/9711\/"}],"acf":[],"banners":"","maintag":{"url":"https:\/\/www.kaspersky.de\/blog\/tag\/fermat-zahlen\/","name":"Fermat-Zahlen"},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.kaspersky.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9666","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.kaspersky.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.kaspersky.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.kaspersky.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/13"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.kaspersky.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=9666"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.kaspersky.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9666\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":10627,"href":"https:\/\/www.kaspersky.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/9666\/revisions\/10627"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.kaspersky.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/9669"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.kaspersky.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=9666"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.kaspersky.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=9666"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.kaspersky.de\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=9666"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}